技术积累

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1. 线性空间与线性变换 ​

bash
https://gitee.com/fakerlove/matrix

应用于微分方程，概率与统计，优化，信号处理，控制工程，经济理论等领域

视屏教学

哈工大的---直接看这个，讲的十分详细

bash
https://www.bilibili.com/video/BV1R341117kg

北京理工大学-PPT有很多错误

bash
https://www.bilibili.com/video/BV19x411878L

今天已经是第7天了，真的是醉了,too vegetable,I am fw

如果是突击的话，看这个就好了

bash
https://www.bilibili.com/video/BV1234y167wx

1.0 考试重点+题型样例 ​

重点

  • 线性空间和线性子空间的判定/证明
  • 求向量在基下的坐标，求一个基到另一个基的过渡矩阵
  • 维数定理（的简单计算）
  • 线性变换的证明，性质，线性变换的和，乘积，数乘，逆变换，象子空间和核（kernel）
  • 线性变换在基下的矩阵

参考资料

bash
https://zhuanlan.zhihu.com/p/107261835

1.0.1 线性空间的判定 ​

线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可，还有两个封闭性

不是，因为0不在里面，加法不封闭，乘法也不封闭

构成

1.0.2 线性维数,和空间，交空间的维数与基 ​

设

若,

求的维数和基，求的基

所以基为,维数是3，这里维数等于秩

1.0.3 线性变换在另一组基下的矩阵 ​

书上P21,20题

又是的线性变换，且；试求

(1)求基到的过渡矩阵

(2)在基下的矩阵

(3)在基下的矩阵

第二问

这里

第三问

在下矩阵

1.0.4 相关概念集合 ​

  1. 集合：两种表示方式（列举、性质），并集、交集、和集（元素和的可能值集合）；

  2. 数域：一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中，称为数域，如有理数域、复数域、实数域；

  3. 线性空间是定义在数域 K 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲集合，再讲数域，最后讲线性空间。

  4. 映射：象、原象，到自身的映射（变换），映射的乘积、结合律；

  5. 线性空间：一个集合，元素满足加法结合律、交换律，数乘（数域 K 上的数）分配率、结合律，存在零元素、负元素，乘 1 不变，称为数域 K 上的线性空间（向量空间），元素称为向量，如实线性空间、复线性空间、矩阵空间；

  6. 基与坐标：基（基底）、基向量、坐标（分量）

  7. 基与坐标变换：旧基 X 到新基 Y 过渡矩阵 C，基变换公式 ，坐标变换公式

  8. 线性子空间：线性空间 V 的非空子集，满足对加法和数乘封闭，由上的向量生成的子空间记为；零空间记为

  9. 矩阵的值域：矩阵的值域是其所有列向量构成的子空间，记为：

  10. 矩阵的核空间：矩阵的核空间定氮仪为,即齐次方程组的解空间，的维度(即解空间的维度)称为零度，记为

  11. 维度与秩：根据“齐次解空间维度+矩阵秩=n”可推

1.1 线性空间相关概念 ​

1.1.1 域 ​

  • 域有加减乘除四种运算的的系统。

  • 如果复数的一个非空集合含有非零的数，且其中任意两数的和差积商(除数不为0)仍然属于这个集合，则称数集为一个数域。

    有理数域，实数域，复数域。

  • 这两个都是映射

    ，这个表示集合的映射

    ，这个表示集合中的元素的映射

1.1.2 域的两种运算 ​

  • 二元加法运算

    给定非空集合V和域F,若存在映射,则称为V上的加法。

    是卡式积

  • 二元数乘运算

    给定非空集合和域,两者之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于F中任意数与中任意元素,经这一运算后得到的结果仍为中的一个确定的元素，称为与的数量乘积，记作

1.1.3 线性空间概念 ​

设是一个非空的集合，是一个数域，在集合中定义两种代数运算，一种是加法运算，用来表示，另一种是数乘运算，用来表示，并且这两种运算满足下列8条运算律

加法运算满足以下4条性质：

  • 对任意
  • 对任意
  • V中存在一个零元素，记作,对任意,都有
  • 任一,都有,使得,则元素称为的负元素，记作

数乘运算满足以下4条性质

  • 对任一,都有
  • 对任一
  • 对任一
  • 对任一

注意点

  • 其中$k,l\in\mathbb{F} V\mathbb{F}$的线性空间

  • 全体实函数集合构成实数域上的线性空间(函数空间)

  • 复数域上全体矩阵构成的集合为上的线性空间(矩阵空间)

  • 实数域上全体次数小于或等于的多项式集合构成实数域上上的线性空间(多项式空间)

    实数域上全体次数等于n的多项式集合不构成实数域上的线性空间

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  • 设A是复数域上的矩阵，x为维列向量，则为列向量集合

    构成复数域上的线性空间，称为的列空间或A的值域，其中，中的加法和数乘运算与中的对应运算规则相同

remark 1: 空间这个概念只是为了类比2维或3维几何空间的一个概念，更好的理解为元素的集合，线性空间中的元素统称为抽象向量(The form that vectors take doesn't really matter, it can be anything)。

remark 2: 集合的中元素为：数组、函数、有向线段时，对应称为数域空间、函数空间、几何空间。

remark 3: 特别地，对于几何空间（有向线段的集合），加法运算采用平行四边形或三角形法则进行计算，数乘运算表示对有向线段进行同向或反向伸缩。

1.1.4 线性相关,无关等概念 ​

1) 线性表出 ​

线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，向量组的极大线性无关组，向量组的秩

  • ,就可以说是是线性组合，或者线性表出。

  • 如果中有一组不全为0的数,使得

    则称向量线性相关，若等式当且仅当时才成立。则称这组向量组线性无关。

2) 线性相关，无关 ​

线性相关性可以用线性非齐次方程组的解集来描述， 设抽象矩阵,由个抽象向量组成，方程组

若方程不存在非零解(即只有,成立)，则称向量组线性无关；

若方程存在非零解，则称向量组线性相关；

3) 线性相关性质 ​

  • 含有零向量的向量组一定线性相关
  • 向量组整体无关向量组部分无关，向量组部分相关向量组整体相关
  • 如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关
  • 向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一
  • 如果向量组(I)可以由向量组（II)线性表出，那么向量组（I)的秩向量组（II)的秩
  • 等价的向量组秩相同

实数域上的函数空间中，函数组是一组线性无关的函数

1.2 基变换与坐标变换 ​

1.2.1 基底和维数 ​

设为数域上的一个线性空间，如果在V中存在n个线性无关向量，

使得中**任意一个向量**都可以由线性表出，即

则称为的一个基底

为向量在基底下的坐标，此时我们称为一个维线性空间，，记为

image-20211213205109484

注:由上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义，线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。

1.2.2 基变换和过渡矩阵⭐ ​

设(旧的),与(新的)是维线性空间的两组基底，他们之间的关系为

将上述矩阵化可以得到下面的关系式

称n阶方阵是由旧基底到新基底的过渡矩阵

基变换公式

其中称为从基到基的过渡矩阵(或基变换矩阵)，这个式子叫做基变换公式

定理：

过渡矩阵是可逆的

求过渡矩阵：求n个AX=b，就是把每个基$\beta_i$用$\alpha$基表示出来。因为系数矩阵是一样，放在一起消元就好了

例子一

在自然基的下的坐标是,但是在基下，由于，故此基下 的坐标为

例子二

img

1.2.3 坐标变换公式⭐ ​

任取,若在两组基下的坐标分别为与,那么我们有坐标变换公式

求坐标：写出基的转置组成的矩阵A作为系数矩阵，把向量b当常数：求AX=b（高斯消元)

例子

image-20211214163251313

image-20211214163331241

image-20211214163603494

image-20211214163625924

1.3 子空间与维数定理 ​

1.3.1 子空间概念 ​

设为数域上的一个维线性空间，为的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有

那么我们称为的一个子空间

线性空间和单个零向量构成的子空间是的两个平凡的子空间。

image-20211215184400742

设,那么线性方程组的解空间为维线性空间的一个子空间。解空间的基底维的基础解系。

解空间的维数=维基础解系所含向量的个数

1.3.2 子空间的交与和 ​

设是线性空间的两个子空间，命

可以验证和都构成的线性子空间，分别称为和的交空间与和空间

1.3.3 线性子空间的判定⭐ ​

证明加法封闭和乘法封闭即可

设是数域上线性空间的非空子集，则是的线性子空间的充要条件是

  • 若,则
  • 若,则

1.3.4 维数公式⭐ ​

1) 维数公式概念 ​

若和是线性空间的两个子空间，则

2) 矩阵的维数 ​

在数学中，矩阵的维数就是矩阵的秩，矩阵的秩就是矩阵中非零子式的最高阶数。

3) 矩阵构成的线性空间的维数 ​

怎么确定由矩阵构成的线性空间的维数？

由矩阵构成的线性空间的维数---这要看矩阵的特点.

实对称矩阵的维数是

解释如下: 因为是对称的,元素和元素是相等的,所以维数只决定于对角线和上半（或下半）部分的元素,一共是 维

1.4 线性空间的同构 ​

1.4.1 同构映射(线性映射) ​

是数域上两个线性空间，映射我,如果对于的任何两个向量和任何数,都有

则称映射是由到的线性映射，称为的原像，为的像

image-20211215192142801

群和群之间建立了同构映射，那么不仅群中的每个元素在群中都有一一映射。

而且对于群中的每个元素,在群运算下得到的元素也在这个映射下保持一一对应

img

同构是两个代数体系之间最精细的刻画，然而一般情况下，同构映射很难找到，于是我们退而求其次，提出一个比同构弱一些的要求：同态。

1.4.2 同构映射相关性质 ​

设且线性相关。则也线性相关

1.4.3 线性映射的值域，核子空间，零度⭐ ​

  • 定义是到的一个线性映射

    设

    则是的线性子空间，称为线性映射的值域，称为

  • 令

    则是的线性子空间，称为线性映射的核子空间，称为的零度

1) 值域R(A)-象子空间 ​

设的的矩阵，称其列向量构成的子空间为的值域空间，即任意维的向量，有，是值域空间中的一个元素，所有的b构成了的值域空间

换句话讲

某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用来表示。

假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做。

值域的维数就是秩

值域所在的空间定义为W空间。

2) 零空间N(A)-核空间 ​

已知为一个矩阵，的零空间（nullspace），又称核（kernel），是一组由下列公式定义的维空间向量

即线性方程组的所有解的集合

在数学中，一个算子的零空间是方程的所有解的集合，它也叫做的核

3) 二者性质 ​

设是n维线性空间到维线性空间的线性映射，那么

1.5 线性变换定义和矩阵表示 ​

1.5.1 线性变换定义 ​

线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本

数域上的线性空间的一个变换称为线性变换，如果对任意即,都有

例子

image-20211215195154410

1.5.2 线性变换矩阵表示(变换矩阵) ​

线性变换能够用矩阵表示，如果T是一个把$R^N$映射到$R^M$的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量，那么我们把m*n的矩阵A,称为T的变换矩阵

官方概念如下

设是的线性变换，是的一组基

则

n阶方阵称为在下的矩阵表示

例子

image-20211215200713290

image-20211215200729303

1.5.3 常见的线性变换 ​

  • 把线性空间的每个向量都映射到零向量的变换叫做零变换

  • 把中每个向量都映射到自身的变换叫做单位变换(恒等变换)

  • 数乘变换。恒等变换是特殊的线性变换

1.5.4 矩阵的特征值与特征向量 ​

1) 概念 ​

设是n阶矩阵，若存在数及元非零列向量,使得或

设是数域上的阶矩阵，矩阵称为的特征矩阵

行列式

称为的特征多项式

n次代数方程称为的特征方程，它的根称为的特征根(或特征值)

矩阵的所有特征根的全体称为的谱，即为

2) 性质 ​

  • 是的非零解

  • 如果是n 阶矩阵，

  • 不同特征值的特征向量线性无关重特征值至多有个线性无关的特征向量

  • 如果若,则

    若,则

  • 特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似，除非这些特征值都不同。比如1,2如果有特征值重根的时候，就需要验证了

1.6 不变子空间 ​

1.6.1 概念 ​

设是线性空间的一个线性变换，又是上的一个子空间，若对任一向量,都有，即

则称是线性变换的不变子空间，也就是说子空间对线性变换是不变的

1.6.2 特征子空间 ​

阶矩阵的属于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以组成的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值的特征子空间，记为,不难看出正是特征方程组的解空间

相关概念

  • 设是A的个互不相同的特征值，对应的重数分别为,则称为的代数重复度

  • 特征子空间的维数为的几何重复度

性质

一个特征向量不能属于不同的特征值

属于不同特征值的特征向量是线性无关的

矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于它的代数重复度