技术积累

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4. 矩阵函数及其应用 ​

4.0 考试重点+例题 ​

bash
https://www.bilibili.com/read/cv4033852
  • 常见向量范数，向量范数的等价（性）
  • 常见矩阵范数，矩阵范数的相容（性）
  • 求矩阵函数（对角化/最小多项式）
  • 矩阵微分与积分

其他结论/定理（主要为以上内容的推导/前置铺垫）：

  • 向量范数，矩阵的范数的定义、性质
  • 向量/矩阵的极限
  • 矩阵的幂级数及其收敛性
  • 常用矩阵函数的性质

4.0.1 求最小多项式 ​

4.0.2 求矩阵的微分和积分(矩阵函数的计算) ​

2020年考点题

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4.0.3 哈密顿-开莱定理 ​

利用特征多项式及哈密顿-开莱定理证明：任意可逆矩阵的逆矩阵都可以表示为的多项式

证明可逆，则,其中为多项式

设

证明：当时，,求

设计算

因的特征多项式为

再取多项式

以去除可得

这里余式

由哈密顿-开莱定理可得

4.0.4 范数 ​

证明是范数

或者计算范数

4.0.5 求矩阵函数 ​

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4.1 向量范数⭐ ​

4.1.1 范数概念(3条) ​

设是实数域(或复数域)上的维空间，对于中任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，

这个实数称为的范数，记为,并且要求范数满足下列运算条件

  • 非负性，当，当且仅当时，
  • 齐次性为任意数
  • 三角不等式：任意，都有

例子

在维线性空间中中，对于任意的向量

定义

（1）（2）（3）

为一范数

为二范数

为无穷范数

三种范数之间有性质

证明都是上的范数，且有

4.1.2 不等式 ​

为了给一般范数一个定义，需要用到两个不等式

1) Holder不等式 ​

设,则

其中，且

2) Minkowski不等式 ​

设,则

其中

4.1.3 常见的向量范数(一范数，二范数，无穷范数) ​

定义：向量，对任意的数,称

为向量的p-范数

  • ，为一范数

  • ，为二范数。也叫做欧式范数

    向量二范数矩阵表达式

  • ，为无穷范数

定理

有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的，利用向量范数可以去构造新的范数

例子

设是上的向量范数，且,则由

所定义的是上的向量范数

例子

设是数域上的维线性空间，为其一组基底，那么对于中的任意一个向量可唯一地表示称

又设是上的向量范数，则由

所定义的是上的向量范数

4.1.4 向量范数的等价性⭐ ​

设是维线性空间上定义的两种向量范数，那么存在两个与无关的正数，使得

4.2 矩阵范数⭐ ​

4.2.1 矩阵范数概念(4条) ​

对于任何一个矩阵，用表示按照某一确定法则与矩阵相对应的一个实数，且满足

  • 非负性，当，当且仅当时，

  • 齐次性为任意数

  • 三角不等式：任意，都有

  • 矩阵乘法的相容性，对于任意两个可以相乘的矩阵，都有

那么我们称是矩阵的范数

1) 矩阵乘法的相容性 ​

矩阵乘法的相容性，对于任意两个可以相乘的矩阵，都有

比向量范数多了一条规则

2) 如何证明是矩阵范数 ​

例子

对于任意，定义

可以证明如此定义的为矩阵的范数

例子二

证明为矩阵范数

非负性，齐次性，三角板不等式很容易证明

4.2.2 谱半径及其性质⭐ ​

矩阵的谱半径是指其特征值绝对值集合的上确界，一般若为方阵A的谱半径则写作ρ(A)。

例子

设,那么，其中 是矩阵的任何一种范数

性质

设是一个阶正规矩阵，则

4.2.3 向量范数诱导的矩阵范数⭐ ​

定义是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵和向量都有

则称矩阵范数与向量范数是相容的

例子

矩阵的范数与向量的范数是相容的

下面是诱导函数的定义

设是向量的范数，则

满足矩阵范数的定义，且是与向量范数相容的矩阵范数

其中i表示induced就是诱导的意思

4.2.4 常见的矩阵范数⭐ ​

1) Frobenious范数酉不变性 ​

对于任意,定义

可以证明也是矩阵的范数，我们称此范数为矩阵的Frobenious范数

酉不变性

  • 如果,那么

  • 对于任何阶酉矩阵与阶酉矩阵都有等式

2) 列和范数，谱范数，行和范数⭐ ​

设则

  • 列和范数，

  • 谱范数:

    其中表示矩阵的第个特征值

  • 行和范数:

命题阶复矩阵的谱半径不大于其任何一种范数

例子

已知，计算

，所以的特征值为,

3) 性质 ​

对于任何矩阵都有

设是矩阵范数，则存在向量范数使得

证明：对于任意的非零向量，定义向量范数

例子

已知矩阵范数

求与之相容的一个向量范数

解:取,设

那么

4.3 向量和矩阵的极限 ​

4.3.1 矩阵的极限概念 ​

设矩阵序列,其中，如果个数列都收敛，则称矩阵序列收敛、进一步，如果，那么

我们称矩阵为矩阵序列的极限

其中矩阵序列----》这是由矩阵构成的序列。

序列里面每个矩阵长这个样子

例子

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定理

矩阵序列收敛于的充分必要条件是

其中为任意一种矩阵范数

4.3.2 矩阵的极限相关性质 ​

  • 一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的

  • 设,则

  • 设,如果

    那么

  • 设,其中

    那么

  • 设,且均可逆，则

    也收敛，且

例子

若对矩阵的某一范数，则

已知矩阵序列,则的充要条件是

设是的相容矩阵范数，则对任意,都有

4.4 矩阵幂级数 ​

4.4.0 高等数学知识-无穷级数 ​

1) 什么是级数？ ​

在数学中，一个又穷或无穷的序列的和称为级数

  • 如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数。
  • 如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数；如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
  • 通项:序列中的项称作级数的通（或一般项)
  • 正项级数，若通项为实数的无穷级数每一项都是大于等于零的，则称是正数项级数

2) 什么是幂级数？ ​

幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。单变量的幂级数形式为：

其中的和是常数。称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数

3) 常见的幂级数展开 ​

4.4.1 矩阵级数收敛性 ​

1) 概念 ​

设,

如果个常数项级数

都收敛，

则称就是矩阵级数收敛

如果个常数项级数

都绝对收敛，

则称矩阵级数绝对收敛

例子

如果设

其中

那么矩阵级数是收敛的

2) 定理(收敛性判定) ​

,则

矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是

正项级数收敛，

其中为任意一种矩阵范数

定理

对于两个绝对收敛的矩阵级数，他们的Cauchy积所组成的矩阵级数仍然绝对收敛

4.4.2 幂级数 ​

1) 幂级数概念 ​

设,称形如

的矩阵级数为矩阵幂级数

2) 幂级数定理 ​

如果矩阵的某个范数在幂级数的

收敛域内，那么矩阵幂级数绝对收敛

3) Cauchy-Hadamard 定理 ​

幂级数,当时，绝对收敛，当时发散。

当时，幂级数收敛与否必须另行判定，这里为此幂级数的收敛半径

矩阵版本

设幂级数的收敛半径为,为阶方阵，

若，则矩阵幂级数绝对收敛

若，则矩阵幂级数发散

证明 ​

设的标准型为

其中

所以

其中当

，当

当时，幂级数都收敛，

例子

矩阵幂级数

都是绝对收敛的

当矩阵的的谱半径，下面的三个矩阵级数也是绝对收敛

4.4.3 矩阵幂级数的收敛和 ​

定理

矩阵幂级数

绝对收敛的充分必要条件是，且其和为

例子

求证，矩阵幂级数收敛

求矩阵幂级数的收敛和

解：

可知的特征是为

而级数的收敛半径为

所以

4.5 矩阵函数 ​

4.5.1 矩阵多项式 ​

1) 矩阵多项式定义 ​

已知 和关于变量x的多项式

那么我们称

为的矩阵多项式

2) 矩阵多项式计算 ​

设为一个阶矩阵，为其标准型，则

于是有了

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3) 相关定理 ​

设为的个特征根，则矩阵多项式的特征根为

例子

已知多项式与矩阵

求

首先求出矩阵的标准型及其相似变换矩阵

并计算出

4.5.2 最小多项式⭐ ​

1) 化零多项式 ​

已知和关于变量的多项式

如果满足,那么称为矩阵的一个化零多项式

2) Hamilton-Cayley⭐ ​

Hamilton-Cayley定理(哈密顿一凯莱定理)

已知,若是的特征多项式

则有

我们称此定理为Hamilton-Cayley定理

例子

特征多项式为,显然

3) 最小多项式概念 ​

设是阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式称为的最小多项式

4) 最小多项式的性质 ​

  • 矩阵的任何一个化零多项式均能被整除
  • 矩阵的最小多项式的唯一的
  • 相似矩阵有相同的最小多项式

5) 最小多项式的计算⭐ ​

引理

级Jordan块的最小多项式为

定理

数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积

定理

已知分块对角矩阵分别为子块的最小多项式。则的最小多项式为的最小公倍数

定理

image-20211227195029237

例子

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4.5.3 矩阵函数概念 ​

影谱上有定义

设为的个互异的特征值，

的最小多项式

其中

如果函数具有足够高阶的导数并且下列个值

存在，则称函数在矩阵的影谱上有定义。

例子

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矩阵函数的定义

设矩阵，其最小多项式为

函数在矩阵的影谱上有定义，如果存在多项式满足

则定义矩阵函数

  • 满足上述定义的多项式存在且不唯一
  • 矩阵函数是与相同阶数的矩阵

定理

设与为两个不同的多项式，为阶矩阵，则的充分必要条件是和在的影谱上的值对应相等，即

设,如果有定义，那么是否也有定义

因为与相似，所以有相同的最小多项式，在上有定义 ，所以有定义

4.5.4 矩阵函数计算 ​

1) 矩阵函数的Jordan表示 ​

设，为矩阵的Jordan标准型，为其相似变换矩阵且使得，

如果函数在矩阵的影谱上有定义，那么

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定理

设为的个特征根，则矩阵函数的特征根，则矩阵函数的特征根为

例子

设

求的表示并计算

从而的Jordan表示为

当是，可得

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2) 矩阵函数的多项式表示 ​

设矩阵的最小多项式

其中

根据计算方法中的Lagrange-Svlvester内插多项式定理可得，有一个次数为次的多项式

满足

的系数为，可以通过上面关系树确定出来，我们称

为矩阵函数的多项式表示

例子

设

求的多项式表示并且计算

解求的Jordan标准型为

矩阵的最小多项式为，

从而存在一个次数为1的多项式满足

即

解得

image-20211225163557933

4.5.5 矩阵函数的幂级数表示 ​

设，一元函数能够展开成关于的幂级数，收敛半径为当矩阵的谱半径时，矩阵幂级数绝对收敛并且

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例子

已知

求矩阵幂级数的和

解的Jordan标准型为

所以

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4.6 矩阵的微分和积分 ​

4.6.1 函数矩阵⭐ ​

1) 函数矩阵概念 ​

以未定元x的函数为元素的矩阵

称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间上的多项式

函数矩阵和数字矩阵一样有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则相同

已知

计算

2) 函数矩阵的可逆矩阵 ​

设为一个阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有

那么我们称在区间上是可逆的。称是的逆矩阵，一般记为

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3) 函数矩阵可逆的充分必要条件 ​

定理

阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在处处不为零，并且

其中为矩阵的伴随矩阵

4) 函数矩阵的秩 ​

区间在上的函数矩阵不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩

特别的，设在区间上的阶函数矩阵，如果的秩为,则称一个满秩矩阵

注意点。对于阶函数矩阵而言，满秩与可逆不是等价的，可逆的一定是满秩的，但是满秩的并不一定是可逆的

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5) 函数矩阵的导数⭐ ​

定义：如果的所有各元素在处有极限，即

其中为固定常数。则称在处有极限，且记为

其中

如果​各元素​在​处连续，即

则称在处连续，且记为

容易验证下面的等式是成立的

设

则

导数定义 ​

如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导，便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导，并且记为

导数性质 ​

  • 是常数矩阵的充分必要条件是

  • 设均可导，则

  • 设是的纯量函数，是多项式矩阵，与均可导，则

    特别地，当是常数,时

  • 设均可导，且与是可乘的，则

  • 如果与均可导，则

  • 设为一函数矩阵，是的纯量函数，与均可导则

6) 函数矩阵的定积分⭐ ​

函数矩阵的定积分性质如下

例子

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由于,所以

下面去，由伴随矩阵公式可得

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例子二

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检验

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7) 函数向量的相关性 ​

设有定义在区间上的个连续的函数变量

如果存在一组不全为零的常实数使得对所有的等式

成立，我们称在上线性相关

定义

设是个定义在区间上的连续函数向量

记

以为元素的常数矩阵

称为的矩阵，称为行列式

定理

定义在区间上的连续多项式向量线性无关的充要条件是她矩阵为满秩矩阵

例子

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定义

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image-20211225214552519

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4.6.2 矩阵的微分方程⭐ ​

形如

的线性微分方程组在引进多项式矩阵与多项式向量以后可以表示如下形式

定理

设是一个阶常数矩阵，则微分方程组

满足初始条件的解为

定理

设是一个阶常数矩阵，则微分方程组

满足初始条件的解为

定理

设都是阶常数矩阵，是一个连续的多项式向量，那么线性非齐次初值问题

的解可以由如下公式给出

定义

设是一个阶常数矩阵，如果对任意的和,初值问题

的解满足，那么称微分方程组

的解渐近稳定的

例子

设

求微分方程组满足初始条件的解

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例子2

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