3. 矩阵的标准型

3.0 考试重点+例子讲解

重点内容

• 求约当标准型

• 求约当标准型对应的P矩阵（中的P，J为约当标准型）

• 求矩阵的多项式的值（哈密顿-开莱定理的运用）

• 求最小多项式

• 求史密斯标准型

• 求SVD（奇异值分解）

3.0.1 求不变因子，行列式因子，初等因子

3.0.2 求Jordan 标准形和相似矩阵P

3.0.3 三个分解

LU分解--待定分解

QR分解

奇异值分解

3.1 矩阵(多项式矩阵)

3.1.1 多项式矩阵概念

设为数域上的多项式，则称

为多项式矩阵，或矩阵

所谓 - 矩阵，简单说来就是矩阵中的每个元素都是关于的多项式。

中最高的次数为的次数

例子：数字矩阵，特征矩阵

3.1.2 多项式矩阵性质

多项式矩阵秩

如果-矩阵中有一个r阶()子式不为0，而所有阶子式（如果有的话）全为0，

则称的秩为r.记为，零矩阵的秩为0.

多项式矩阵等价

如果经过有限次的初等变换之后变成，则称与等价，记为

-矩阵的等价关系

• 自反性：
• 对称性，则
• 传递性，若，,则

相抵矩阵

如果矩阵A可以经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B，则称A与B是相抵，又称A与B等价。

3.1.3 多项式矩阵初等变换

可以进行的相关操作

设是的特征矩阵，其初等变换操作

• 变换的两行(列)
• 的某一行(列)同乘以一个非零常数
• 的某一行(列)同乘以多项式加到另一行(列)

3.1.4 多项式矩阵的运算

1) 一元多项式的乘法

我们将多项式以降幂方式排列，然后用各次幂项的系数做成向量。显然，这样的表示是一一对应的。好了，我要开始骚操作了：

没错，结果的确是——

如上图，我们记沿着方阵次对角线方向求和的运算为,于是一元多项式乘积可以表示为：

定理

2) 二元多项式乘法

例子一

这样的表示原理其实和例 1 是一致的，我们可以看作：

交叉项那该如何表示？

例子二

我们将这个矩阵记为,接下来还会用它举例。看了下图相信你就明白了

例子三

我们将此运算结果表示为矩阵

实际上它是下面矩阵乘法的运算结果——

特就是说，将矩阵分别向左，下方向移动个单位，其余元素以零补充，

另外，考虑所乘单项式的系数,只要把提到矩阵前面就可以了。

定理

其中是单项式

3.2 Smith标准型⭐

3.2.1 Smith标准型基本概念⭐

概念

任意一个非零的型的-矩阵都等价于一个"对角矩阵"。

其中,是首项系数为1的多项式且

称这种形式的-矩阵为的Smith标准型

称为的不变因子

计算

例子一

例子二

例子三

我们在求n-1阶矩阵时，有一个矩阵非常重要，就是去掉第一列，和最后一行。结果就是

3.2.2 不变因子⭐

概念

设矩61的秩为,对于正整数,,中必定有非零的级子式，

中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的k阶行列式因子

不变因子

所有不变因子称为的不变因子组

定理

经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相同的行列式因子或不变因子是和相似的充要条件

计算

计算不变因子组

3.2.3 初等因子⭐

概念

设矩阵的不变因子是.标准分解式是

其中是互异的复数。是非负整数，

则称的标准分解式中的一次因式的方幂为的初等因子。

的所有初等因子(重复方按重数计算)。称为的初等因子组

由定义知道，初等因子是被不变因子确定的

因为，所以有指数如下关系

定理

型的-矩阵与等价的充要条件是他们有相同的秩和相同的初等因子

计算

例子一

例子二

3.2.4 分块矩阵的初等因子

如-矩阵

则各个初等因子的全体就是的全部初等因子

如-矩阵

则所有一次因式幂的全体就是的全部初等因子

举个例子

初等因子为

3.3 矩阵的相似对角形

3.3.1 矩阵相似

1) 矩阵相似概念

设是的线性变换，与是的两组基，由到的过度矩阵为,在基下的矩阵为.在下的矩阵为,

则

定义,若存在，满足,则称与相似。即为

换一种说法

设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵使得,则称相似，记为

若,其中 是对角阵，称可相似对角化， 是的相似标准型

2) 矩阵相似相关性质

相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。

• 有着相同的特征值

• 传递性:

• A有n个特征向量

3) 矩阵相似的充分必要条件

数字矩阵的相似与-矩阵的等价

定理:

设A,B是两个阶数字矩阵，那么与相似的充分必要条件为它们的特征矩阵入与入等价.

定义:

对于数字矩阵，我们称的不变因子为的不变因子，称入 的初等因子为的初等因子.

3.3.2 对角矩阵

1) 对角矩阵概念

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵

形如

2) 矩阵的可对角化条件

阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量

或者阶矩阵可对角化的充要条件的的每一个特征值的几何重复度等于代数重复度

3) 同时对角化

设,且,则可以对角化的充要条件是都可以对角化

3.4 Jordan标准形⭐⭐

3.4.1 Jordan标准形概念

1) Jordan块

称阶矩阵

为Jordan块

的行列式因子

所以的初等因子为

2) Jordan标准形

设为Jordan块，称准对角形矩阵

为Jordan标准形

的初等因子是初等因子的全体

所以的初等因子为

定理，设的初等因子为

则,其中

注：如果不考虑Jordan块的排列顺序，方阵的Jordan标准型是本质唯一的

n阶矩阵可以对角化的充分必要条件是的初等因子都是一次因式

例子一

例子二

3) Jordan标准形的幂

定理

对于阶Jordan块

Jordan块的n次幂

或者换种形式--导数的形式

4) 矩阵的Jordan分解定理

设,则与一个Jordan矩阵相似，即存在可逆矩阵使得

这个矩阵除块的排序次序外有唯一确定，并且称为的标准形

3.4.2 Jordan 标准形求法⭐

1) 由Smith标准形求矩阵A的Jordan标准型方法

• 用初等变换特征矩阵为Smith标准型，求出的不变因子

• 将的每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的成绩，这些一次因式的方幂称为的初等因子

  设的全部初等因子为

  其中可能有相同的，且

• 写出每个初等因子对应的Jordan块

  以这些Jordan块构成的Jordan矩阵

例子

2) 利用秩

方法如下

• 计算得出

• 通过分析,得出对应于特征值的Jordan块的个数，阶数

求出如下的矩阵的Jordan

解法如下

首先讲一下

Jordan 标准型的几个基本性质

• 每一个Jordan块对应属于的一个特征向量

• 对于给定的,其对应的Jordan块的个数等于的几何重复度

• 特征值所对应的全体Jordan块的阶数之和的代数重复度

• 设阶方阵相似于Jordan标准型,且,则

• 对于阶的Jordan块的秩变化如下

  

3.4.2 相似变换矩阵P⭐

设阶方阵的Jordan标准型为,则存在可逆矩阵使得

称为相似变换矩阵

3.5 舒尔定理

3.5.1 舒尔定理(schur)

设,若存在酉矩阵使得

这里为上三角矩阵，的主对角线上的元素都是的特征值。

则称酉相似于

换句话讲

性质

设,则有可逆矩阵P，可得

且,其中是预先给定的任一正数

3.6 矩阵分解⭐

3.6.1 QR分解(正交三角分解)

1) QR分解概念

设的秩为，则可以唯一地分解为

其中是标准正交向量组矩阵，是正线上三角阵

2) QR分解证明

https://zhuanlan.zhihu.com/p/362248020

3) QRf分解求法

• 对矩阵进行施密特标准正交化，得出矩阵
• 通过得出矩阵

3.6.2 满秩分解

参考文章

https://zhuanlan.zhihu.com/p/344306107

1) 满秩分解概念

设的秩为,则存在秩为的矩阵,秩为的矩阵，满足

其中，称为列满秩矩阵(因为列数等于秩)，称为行满秩矩阵(因为行数等于秩)

这样的分解不是唯一的

2) 满秩分解的证明

3) 满秩分解的求法-2种方法

那么，该如何寻找这样的一个满秩分解呢？

红色的部分是矩阵的极大线性无关组，所以，红色部分的列数为3，就等于矩阵的秩,

而蓝色部分是行最简形矩阵的前行，行数也是矩阵的秩

方法步骤如下

• 首先对矩阵进行初等行变换，变成行最简形矩阵,得到的秩为
• 找出矩阵的列向量组的极大线性无关组组成的矩阵，这个矩阵就是满秩分解的
• 取行最简形矩阵的前行构成的矩阵，这个矩阵就是满秩分解的
• 写出

例子

法二

3.6.3 奇异值分解(SVD分解)⭐

https://zhuanlan.zhihu.com/p/399547902

1) 奇异值分解定义

前期数学准备

引理1

对于任何一个矩阵都有

引理2

对于任何一个矩阵都有与都是半正定的矩阵

半正定

定理

设是的特征值，是的特征值，他们都是实数。

那么

此时，我们称为矩阵的正奇异值，简称奇异值

的非零特征值相同

正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长

概念

设,则存在酉矩阵，使得

这里，且

称为的奇异值，而

称为矩阵的奇异值分解式

例子

2) 奇异值分解证明

3) 奇异值分解求法

第一步

求出的n个特征值（并按照从大到小排列)和对应的标准正交的特征向量

第二步

取标准正交的特征向量构成正交矩阵

取正奇异值，即前个奇异值，即非零特征值开根号，构成对角矩阵

添加格外的0组成矩阵

第三步

构成前个标准正交向量,其中

第四步

按照标准正交基扩充的方法，将扩充为维向量空间的标准正交基组成正交矩阵

第五步

例子

3.6.4 LU分解

3.7 总结应用

总结

• -矩阵换成Smith矩阵后，矩阵对角线上的值就是不变因子

• 初等因子是被不变因子确定的

应用

• 矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用,QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。
• 多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s)Z(s)]列写出线性时不变有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。
• 多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程中具有基础作用，应用广泛。