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2. 内积空间

2.0 考试重点+例题

bash
https://www.bilibili.com/read/cv3995642

重点内容

  • 内积空间的判定/证明

  • 柯西-许瓦兹不等式

  • 施密特正交化(求标准正交基)

  • 正交变换的判定/证明

  • 方程组的最小二乘解

  • 复数矩阵的对角化

    一些其他概念/定义:对角行矩阵,实对称矩阵,实反对称矩阵,厄米特矩阵,反厄米特矩阵,正交矩阵,酉矩阵。

2.0.1 求矩阵的特征值和矩阵的迹

这个就不举例了

一个矩阵中主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各元素的总和被称为的迹

2.0.2 矩阵的秩的关系

2.0.3 求最小二乘解

的最小距离

2.0.4 酉矩阵的特征值

2.1 内积空间的相关概念

欧式空间与酉空间通称为内积空间

2.1.1 欧式空间⭐

是实数域上的维空间,对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为的内积。记为,并且要求内积满足下列运算条件:

  • ,当且仅当

这里中的任意向量,为任意实数,这样我们称带有这样内积的维线性空间为欧式空间

例子

中,对于

若规定

容易验证是上的一个内积,从而成为一个欧式空间

2.1.2 酉空间⭐

是复数域上的维空间,对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为的内积。记为,并且要求内积满足下列运算条件:

  • ,当且仅当

定义

维酉空间,为其一组基底,对于中的任意两个向量

那么的内积为

酉空间内积定义可以简写为

2.1.3 厄米特矩阵⭐

前期数学准备

,用表示以中元素的共轭复数为元素组成的矩阵,记为

复共轭转置矩阵

性质如下

  • ,如果可逆

1) 厄米特矩阵和反厄米特矩阵

如果,如果 ,那么我们称A为Hermite(厄米特)矩阵

如果,那么称反Hermite(厄米特)矩阵

Hermite矩阵如下图所示

举例,判断下列矩阵是-矩阵

2) 厄米特矩阵相关性质

任意都可以表示为一个矩阵和一个反阵之和

2.1.4 度量概念

为欧式空间,向量的长度定义为非负数

例子

定义

为欧式空间,两个非零向量的夹角定义为

于是有

2.1.5 柯西许瓦兹不等式⭐

是内积空间,中任两向量,则有

等号当且仅当线性相关时成立

向量长度具有如下性质

  • ,当且仅当时,

2.2 正交基和子空间的正交关系

在空间中,如果,则称正交,记为

长度为1的向量称为单位向量,对于任何一个非零的向量,向量总是单位向量,称此过程为单位化

2.2.1 正交基相关概念

为一组不含有零向量的向量组,如果内的任意两个向量彼此正交,则称其为正交向量组

如果一个正交向量组中任何一个向量组都是单位向量,则称此向量组为标准正交向量组

维内积空间中,由个正交向量组组成的基底称为正交基底

个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底

定理

向量组为正交向量组的充分必要条件是

向量组为标准正交向量组的充分必要条件是

2.2.2 Schmidt正交化(2步)⭐

正交向量组合向量组的关系

正交的向量组是一个线性无关的向量组,反之,由一个线性无关的向量组出发,可以构造一个正交向量组。甚至是一个标准正交向量组

Schmidt正交化与单位化过程:

维内积空间个线性无关的向量,利用这个线性无关的向量,利用这个向量可以构造与之等价的一个标准正交向量组,而且的一个标准正交基

1) 正交化

2) 单位化

显然,是一组标准的正交向量组

例子

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2.3 正交(酉)变换⭐

2.3.1 酉矩阵和正交矩阵

酉矩阵

为一个阶复矩阵,如果满足

则称为酉矩阵,一般记作

是酉矩阵的充要条件是的每个特征值的模

正交矩阵

为一个阶实矩阵,如果其满足

则称为正交矩阵,一般记作

例子

前三个都是正交矩阵

第四个为酉矩阵

总结

,那么

这里当时,,当时,

性质

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定理

是一个酉矩阵(正交矩阵)的充分必要条件为个列(或行)向量组是标准正交向量组

2.3.2 酉相似

设给定,若果存在一个酉矩阵,使得,我们称酉相似

如果可以取为实数,那我们就说实正交相似。

如果与一个对角矩阵酉相似,我们称可以酉对角化。

如果与一个对角矩阵实正交相似,我们称可以实正交对角化

2.3.3 正交变换的判定

是内积空间的线性变换,若能保持中向量内积不变,即对任何,都有

则线性变换称为的一个正交变换。(即变换后,内积不变)

2.4 正规矩阵

2.4.1 正规矩阵概念

,且,那么我们称矩阵为一个正规矩阵

,且,那么我们称矩阵为一个实正规矩阵

例子

为实正规矩阵

矩阵,反矩阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵

2.4.2 正规矩阵性质

  • 是一个正规矩阵,则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵
  • 是一个正规矩阵且又是三角矩阵,则必为对角矩阵

是一个正规矩阵

  • A是厄米特的充要条件是:的特征值全为实数
  • 是反厄米特矩阵的充要条件是:A的特征值为零或纯虚数
  • A是酉矩阵的充要条件是的特征值的模长为1

2.4.3 正规矩阵的结构定理

根据第三章的舒尔定理,可以证明

矩阵,为正规矩阵的充要条件是:存在酉矩阵,使得酉相似与对角形矩阵

其中的特征值

推论,可以出判断题

  • n阶正规矩阵有n个线性无关的特征向量(必要不充分)
  • 可对角化的矩阵不一定可酉对角化
  • 正规矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交

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2.5 最小二乘⭐

根据我们在本科学的知识点,求

时,我们才有解??

但是大多数实际情况,是无解的情况,

使得最小

下面直接给答案

例子

解如下

2.6 正交投影变换(书上没有-不用看)

2.6.1 幂等矩阵

,如果满足则称是一个幂等矩阵

性质

  • 都是幂等矩阵

  • 的充分必要条件是

  • ,

    R(A)指的是A的值域,N(A)是其零空间

  • 如果,则有

    可知,整理为

    因此,即可得

幂等矩阵的结构定理

是一个秩为阶矩阵,那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得

是一个阶幂等矩阵,则有

幂矩阵与投影变换

维酉空间的两个子空间,且,则对于中任一向量均可唯一的表示为

则称沿的投影,沿的投影

由上式确定的线性变换

称为沿的投影变换

定理

是一个阶幂等矩阵,则线性变换

沿着的投影变换

提示:,其中

定理

维酉空间上的线性变换,则下列命题等价

  • 上的投影变换
  • 的矩阵表示满足

2.6.2 概念

正交补

正交投影变换

是一个阶幂等的矩阵,则线性变换

的正交投影变换

正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。

2.6.3 总结

为什么投影变换和正交投影变换的区别是幂等矩阵是否是Hermite矩阵?

投影变换的充要条件是A^2=A, 正交投影变换的充要条件是A^2=A,且A是Hermite矩阵。

2.7 厄米特二次型